구면삼각형

1. 구면삼각형의 정의

구의 중심을 지나는 평면과 구면과의 교선을 대원이라 하고 세 변의 대원의 호로 된 삼각형을 구면 삼각형이라고 한다. 

 

1) 구면삼각형의 성질

① 구면 삼각형의 내각의 합은 180º 보다 크다

② 2점간 거리가 구면상에서는 대원의 호의 길이가 된다.

③ 구면 삼각형의 한 변은 다른 두 변의 합보다는 작고 차이보다는 크다

④ 구과량은 구면 삼각형의 면적에 비례하고 구의 반지름 제곱의 반비례한다.

⑤ 일반측량에서는 구과량 미소하여 무시, 평면삼각법의 면적을 사용해도 무방하다.

 

 

 

2) 구과량

구과량이란 구면 위에 그려진 삼각형에서 내각의 합과 평면 위에 그려진 삼각형에서 내각의 합의 차이를 말한다. 여기서 구과량은 ε은 구면삼각형의 면적을 F라 하고 지구 곡률반경을 r이라고하면 ρ"= 180 / π (60*60) = 206265" 의미한다.

예를 들어 1변의 길이가 30km인 정삼각형의 내각을 오차없이 측량하였을 때에 내각의 합은? (지구곡률반지름 = 6370km) 

 

3) 르장드르 정리

르장드르의 구면삼각형 정리(Legendre's theorem on spherical triangles)의 구면삼각형에 대한 정리는 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)의 이름을 따서 명명했다.

르장드르 정리(Lehmann's theorem)는 삼각형의 구면 초과(spherical excess)에 대한 정리이다. 구면 초과는 삼각형의 각 세 변의 내각을 더한 값에서 180도를 뺀 값으로 정의된다. ABC를 작은 변 a , b , c 가있는 구면의 구형 삼각형이라고한다면, A' , B' , C'를 같은면이있는 평면 삼각형이라고 비교할 수 있다. 그렇다면 구면삼각형의 각도가 평면 삼각형의 대응 각도를 구차량의 약 1/3만큼 초과한다.