구면삼각형과 구과량

1. 개요

구면상의 세 개의 점을 이어서 만든 삼각형을 말한다. 평면상에서는 두점간을 잇는 데 직선이 쓰여지는데, 구면상에서는 두 점과 구의 중심을 지나는 면에서 자른 대원(大圓)이라 불리는 선을 사용한다. 즉, 구면 삼각형은 세 개의 대원으로 형태지어진다. 그로 인해 구면 삼각형의 내각의 합은 180도보다 커진다.

구과량(Spherical excess)은 구면삼각형의 내각의 합이 180도를 초과하는 정도를 나타내는 값입니다. 일반적인 평면 삼각형의 내각의 합은 항상 180도입니다. 하지만 구면삼각형은 구면의 특성으로 인해 각 꼭지점의 내각이 합쳐지면 180도보다 큰 값을 가질 수 있습니다.

 

2. 구면삼각형의 정의

구의 중심을 지나는 평면과 구면과의 교선을 대원이라 하고 세 변의 대원의 호로 된 삼각형을 구면 삼각형이라고 한다. 

 

1) 구면삼각형의 성질

① 각의 합: 평면 삼각형의 각의 합은 항상 180도이지만, 구면삼각형의 각의 합은 일반적으로 180도보다 큽니다. 이를 구과량(Spherical excess)이라고 합니다.

② 각의 크기: 구면삼각형의 각은 라디안(radian) 단위로 측정됩니다. 1 라디안은 구면의 반지름과 같은 길이의 호로 이루어진 각을 의미합니다.

③ 변의 길이: 구면삼각형의 변은 지구 표면에서의 최단 거리인 호의 길이로 측정됩니다. 구면 삼각형의 한 변은 다른 두 변의 합보다는 작고 차이보다는 크다

④ 구과량: 구과량은 구면 삼각형의 면적에 비례하고 구의 반지름 제곱의 반비례한다.

⑤ 코사인 법칙과 사인 법칙: 구면삼각형에는 평면 삼각형과 유사한 코사인 법칙과 사인 법칙이 있으며, 이를 통해 구면삼각형의 각과 변의 관계를 설명할 수 있습니다.

 

 

3. 구과량

 

구과량이란 구면 위에 그려진 삼각형에서 내각의 합과 평면 위에 그려진 삼각형에서 내각의 합의 차이를 말한다. 여기서 구과량은 ε은 구면삼각형의 면적을 F라 하고 지구 곡률반경을 r이라고하면 ρ"= 180 / π (60*60) = 206265" 의미한다.

예를 들어 1변의 길이가 30km인 정삼각형의 내각을 오차없이 측량하였을 때에 내각의 합은? (지구곡률반지름 = 6370km)