오차전파법칙(Propagation of Error)

1. 오차전파의 법칙(Propagation of Error)

측정값을 가지고 계산을 하는 경우, 측정값에 포함되어 있는 오차가 계산값에도 포함되게 되는데 이를 오차의 전파 (error propagation)라고 한다. 각 측정 값의 불확실성이 최종 측정 결과의 불확실성에 어떻게 영향을 미치는지 설명하는 원칙이며, 이는 측정 값을 사용하여 계산할 때 오차가 어떻게 전파되는지를 이해하고 예측하는 데 사용된다.

측정을 할 때 측정환경이나 측정계기의 분해능에 의한 측정 한계 등으로 측정값은 항상 불확실성을 갖게 된다. 그 불확실한 정도를 불확도라고하며 표준편차, 표준오차 또는 경험이나 다른 정보에 근거하여 가정한 확률분포로부터 값을 결정한다.

1) 오차의 종류

① 착오

착오(錯誤, Mistake, Blunder or Gross error) 또는 과대오차(誇大誤差)란 관측자의 부주의 또는 실수로 인해 발생한 오차를 말한다. 예를 들어 관측자가 눈금을 잘못 읽거나, 다른 측점을 착각하고 관측했을 때 착오가 발생한다. 착오는 오차론으로 소거할 수 없으므로, 측량 과정에 주의를 기울이고 반복 확인하여 사전에 방지하도록 노력해야 한다. 착오가 생겼을 경우 해당 관측값이 사용되기 전에 반드시 소거해야 한다.

② 정오차

정오차(定誤差, Constant Error) 또는 계통오차(系統誤差, Systematic Error)란 오차의 발생 원인이 분명하고 오차의 발생 방향과 크기가 일정하여 수식에 의해 보정이 가능한 오차를 말한다. 예를 들어 줄자로 거리를 잴 때, 줄자가 온도나 장력 등에 의하여 길이가 변화했을 경우 정오차가 발생한다. 정오차는 기계오차, 자연오차, 개인오차로 세분할 수 있다.

③ 우연오차

우연오차(偶然誤差, Random error) 또는 우차(偶差)란 착오를 제거하고 정오차를 보정하고 나서도 남아있는 오차를 말한다. 오차의 원인을 알 수 없거나, 알더라도 측정 당시의 순간적인 변화로 인해 수식으로 보정할 수 없는 오차이다. 우연오차는 확률에 의하여 통계적으로 처리한다. 우연오차는 크기와 방향이 일정하지 않아 서로 상쇄되는 경우도 있어서 상차(償差, Compensating error)라고도 한다. 우연오차의 성질로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 큰 오차가 발생할 확률은 작은 오차가 발생할 확률보다 매우 작다.
• 같은 크기의 양(+)의 오차가 발생할 확률은 같은 크기의 음(-)의 오차가 발생할 확률과 같다.
• 극단적으로 큰 오차는 거의 발생하지 않는다.

 

2) 오차의 전파 형태

오차 전파형태는 오차의 종류에 따라  달라진다.

 

① 정오차의 전파

선형 함수 y = f(x1,x2,x3,···,xn)에 대하여 x1,x2,x3,···,xn의 오차를 dx1,dx2,dx3,···,dxn 이라고 하자.

이때 y에 전파되는 정오차 dy는 다음과 같이 구한다.

② 부정오차의 전파

함수 y = f(x1,x2,x3,···,xn)에 대하여 x1,x2,x3,···,xn의 오차를 σx1,σx2,σx3,···,σxn 이라고 하자.

이때 y에 전파되는 우연오차 σy는 다음과 같이 구한다.

 

3) 관측값의 표현

동일한 오차가 발생하는 경우의 정오차는 관측횟수에 비례하여 증가하고 부정오차는 관측횟수의 제곱근에 비례한다. 관측값의 표현은 정오차는 연산하고, 부정오차는 붙여서 표현한다.