확률곡선과 정규분포(Probability Curve and Normal Distribution)

1. 확률 곡선

확률곡선은 어떤 분포에서 어떤 사건이 발생할 확률을 나타내는 그래프입니다. 일반적으로 이는 통계학이나 확률론에서 사용됩니다. 예를 들어, 정규분포의 경우 확률밀도함수를 그릴 때 종 모양의 곡선이 나타나게 됩니다. 그래프 상의 특정 부분의 면적이 바로 해당 사건이 일어날 확률을 나타냅니다. 어떤 특정 값 이상이나 이하의 확률을 구하고 싶다면 해당 부분의 면적을 적분하면 됩니다.

 

1) 균등분포 (Uniform Distribution)

특징: 모든 값이 동일한 확률을 가지는 분포입니다. 그래프는 직사각형 모양이며, 모든 구간의 확률이 동일합니다.

예시: 동전 던지기의 결과(앞면 또는 뒷면), 주사위 던지기의 결과(1에서 6까지의 값) 등이 균등분포를 따를 수 있습니다.

 

2) 비균등분포 (NonUniform Distribution)

특징: 어떤 패턴이나 규칙 없이 값들이 분포하는 경우를 나타냅니다. 이는 매우 다양한 형태를 가질 수 있습니다.

예시: 자연 상태에서 발생하는 여러 현상들이 비균등분포를 따를 수 있습니다. 강우량, 지진의 강도, 인구 분포 등.

 

3) 정규분포 (Normal Distribution)

특징: 종 모양의 대칭적인 곡선을 가지며, 평균과 표준편차에 의해 모양이 결정됩니다. 대부분의 값은 평균 근처에 몰려 있습니다.

예시: 키, 체중, 성적 등 많은 자연 현상이나 통계적 데이터가 정규분포를 따르는 경우가 많습니다.

 

2. 정규분포

정규분포는 종 모양(bell-shaped)의 정규곡선을 이룬다. 아래 그림처럼 평균을 중심으로 해서 사건이 중앙에 가장 많이 분포하고 양끝으로 갈수록 희박하게 분포하며, 평균을 축으로 그래프의 양쪽이 정확히 겹쳐진다. 즉, 확률밀도함수의 그래프의 무게중심이 평균이다.

정규분포는 모평균과 모분산 두 개의 퍼라미터를 가지고 있다. 정규분포는 그것을 정립한 수학자 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 가우스 분포(Gaussian distribution)라고도 불린다.

정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

 

정규분포의 확률밀도함수 그래프 아래의 면적은 1이며, 좌우대칭이므로 왼쪽이 0.5, 오른쪽이 0.5이다. 이보다 더 유용한 사실은 아래 그림에서 보듯이 정규분포확률변수값이 평균을 중심으로 좌우로 표준편차의 1배의 범위에 안에 있을 확률이 68%이고, 표준편차의 2배의 범위 안에 있을 확률은 95%, 3배의 범위 안에 있을 확률은 99.7%이라는 점이다.